Вероятность как степень уверенности

Частоты, апостериорные вероятности.

Когда разработчики слышат слово "вероятность", в голове часто всплывают игральные кости, подбрасывание монетки и школьная формула "благоприятные исходы делить на все возможные". Это полезная, но очень узкая картинка. В машинном обучении и в прикладной аналитике вероятность почти всегда означает другое – степень нашей уверенности в утверждении, исходя из имеющихся данных.

Эта глава нужна, чтобы аккуратно сдвинуть мышление: от вероятности как свойства мира к вероятности как модели нашего знания о мире.

Классическая интуиция: вероятность как частота

Начнем с привычного. Если мы много раз подбрасываем честную монетку, то ожидаем, что орел будет выпадать примерно в половине случаев. Формально это записывается так:

$$P(\text{орел}) = \frac{1}{2}$$

Здесь вероятность интерпретируется как предел относительной частоты при большом числе экспериментов. Это так называемая частотная (frequentist) интерпретация.

Она хорошо работает там, где:

• эксперимент можно повторять бесконечно;

• условия не меняются;

• объект стабилен (монетка сегодня и завтра "та же самая").

Но уже на этом этапе возникает вопрос: а что делать с единичными событиями?

Какова вероятность того, что завтра пойдет дождь? Или что пользователь кликнет на кнопку? Или что письмо – это спам?

Мы не можем "прокрутить мир" миллион раз и посмотреть частоты. И вот здесь появляется другая, гораздо более полезная для разработчика интерпретация.

Вероятность как степень уверенности

В байесовском смысле вероятность – это число, которое отражает нашу уверенность в утверждении, исходя из информации, которой мы располагаем.

Например:

• вероятность дождя 70% означает не то, что дождь "пойдет на 70%";

• это означает: при текущих данных и модели мы довольно уверены, что дождь будет.

То же самое в ML:

• модель говорит, что письмо – спам с вероятностью 0.92;

• это значит, что при всех известных признаках модель почти уверена в принадлежности письма к этому классу.

Важно: вероятность здесь не свойство объекта, а свойство нашей модели и нашего знания. И при другой модели или других данных эта оценка могла бы быть иной.

Это ключевой сдвиг мышления.

Формально: вероятность как число от 0 до 1

Математически вероятность – это просто число:

$$0 \le P(A) \le 1$$

где:

• P(A) = 0 означает полную уверенность, что событие не произойдет;

• P(A) = 1 – полную уверенность, что произойдет;

• промежуточные значения – степень уверенности.

В байесовской интерпретации такие значения означают догматическую уверенность и на практике почти не используются.

Но в машинном обучении мы почти всегда работаем именно с такими значениями. Модель не говорит "да" или "нет", она говорит "насколько я уверена".

Пример из жизни: медицинский тест

Представим, что у нас есть некоторый тест на заболевание. Он не идеален.

• Если человек болен, тест положительный в 99% случаев.

• Если человек здоров, тест отрицательный в 95% случаев.

• Болезнь встречается у 1 человека из 1000.

Если тест показал "положительно", какова вероятность, что человек действительно болен?

Интуиция часто подводит. Кажется: "почти 99%" Но реальный ответ будет сильно меньше из-за редкости болезни. Ниже мы увидим насколько.

Это классический пример того, почему вероятность – это не просто свойство теста, а результат обновления уверенности с учетом контекста.

И здесь впервые появляется формула Байеса.

Немного математики: формула Байеса

Давайте посмотрим на эту формулу:

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}$$

Где:

• $A$ – гипотеза (человек болен);

• $B$ – наблюдение (тест положительный);

• $P(A)$ – априорная вероятность (наша уверенность до теста);

• $P(B)$ – вероятность наблюдения, служит нормирующим коэффициентом;

• $P(B \mid A)$ – вероятность наблюдения при верной гипотезе (вероятность положительного теста, если человек действительно болен; чувствительность теста).

• $P(A \mid B)$ – апостериорная вероятность (уверенность после теста).

В машинном обучении эта логика используется постоянно, даже если формула явно не выписывается. Большинство практических моделей классификации по сути обновляют нашу уверенность на основе признаков.

Медицинский тест. Подсчёт по формуле Байеса

Посчитаем аккуратно, по формуле Байеса.

Дано:

• Распространённость болезни: ( $P(Б) = 1/1000 = 0.001$ )

• Чувствительность теста (true positive): ( $P(+ \mid Б) = 0.99$ )

• Специфичность теста (true negative): ( $P(- \mid З) = 0.95$ ) ⇒ ложноположительный результат: ( $P(+ \mid З) = 0.05$ )

Шаг 1. Вероятность положительного теста

$P(+) = P(+ \mid Б)P(Б) + P(+ \mid З)P(З)$

$P(+) = 0.99 \cdot 0.001 + 0.05 \cdot 0.999$

$P(+) = 0.00099 + 0.04995 = 0.05094$

Шаг 2. Вероятность, что человек болен при положительном тесте

$P(Б \mid +) = \frac{P(+ \mid Б)P(Б)}{P(+)}$

$P(Б \mid +) = \frac{0.99 \cdot 0.001}{0.05094}$

$P(Б \mid +) \approx 0.0194$

Ответ

≈ 1.94%

---

Интуитивная проверка "на пальцах"

Возьмём 100000 человек:

• Больны: 100

  • Положительный тест: 99

• Здоровы: 99900

  • Ложноположительный тест: ≈ 4995

Всего положительных тестов: 99 + 4995 = 5094

Доля реально больных среди положительных:

$99 / 5 094 \approx 1.94\%$

Вывод

Даже при очень хорошем тесте, если болезнь редкая, положительный результат ≠ высокая вероятность болезни.

Это классический пример того, как базовая вероятность (base rate) ломает интуицию.

Визуальная интуиция вероятности

Вероятность удобно представлять не как абстрактное число, а как "массу уверенности", распределенную между вариантами.

Например, модель классификации текста может сказать:

• спам: 0.85

• не спам: 0.15\

Это не просто два числа. Это распределение нашей уверенности между гипотезами.

13.1 Распределение вероятности между двумя классами

Вероятность и softmax

Во многих моделях (логистическая регрессия, нейросети) на выходе используется функция softmax:

$$P(y = i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j} e^{z_j}}$$

Она превращает произвольные числа (оценки модели) в корректные вероятности:

• все значения от 0 до 1;

• сумма равна 1.

Хотя строго говоря, это вероятности модели, а не объективные вероятности мира.

Смысл этого шага в том, чтобы привести оценки модели к форме степеней уверенности, с которыми удобно работать дальше – сравнивать, устанавливать пороговые значения и интерпретировать.

Пример вероятности с softmax

Во многих моделях машинного обучения выходом являются не вероятности, а так называемые оценки (logits). Это просто числа, отражающие относительную уверенность модели в каждом варианте. Они могут быть любыми – положительными, отрицательными, большими или маленькими – и сами по себе не интерпретируются как вероятность.

Чтобы превратить такие оценки в корректные вероятности, используется функция softmax.

Рассмотрим простой пример. Пусть модель оценивает входящее письмо и выдает следующие оценки для трех классов:

$scores = [
    'spam'   => 2.1,
    'promo'  => 1.3,
    'normal' => 0.2,
];

Эти числа не являются вероятностями. Их сумма не равна 1, и они могут свободно выходить за диапазон от 0 до 1.

Реализуем функцию softmax на чистом PHP:

function softmax(array $scores): array
{
    // Для числовой стабильности вычитаем максимальное значение
    $max = max($scores);

    $expValues = [];
    $sum = 0.0;

    foreach ($scores as $key => $value) {
        $exp = exp($value - $max);
        $expValues[$key] = $exp;
        $sum += $exp;
    }

    $probabilities = [];
    foreach ($expValues as $key => $value) {
        $probabilities[$key] = $value / max($sum, 1);
​    }

    return $probabilities;
}

Применим softmax к оценкам модели:

$probabilities = softmax($scores);

foreach ($probabilities as $class => $probability) {
    echo $class . ': ' . round($probability, 3) . PHP_EOL;
}

// Результат:
// spam: 0.625
// promo: 0.281
// normal: 0.094

Теперь мы получили корректное распределение вероятностей:

• каждое значение находится в диапазоне от 0 до 1;

• сумма всех значений равна 1;

• числа можно интерпретировать как степень уверенности модели.

Важное замечание: softmax не делает модель умнее. Он лишь переводит ее внутренние оценки в форму, удобную для интерпретации и принятия решений. Модель по-прежнему сомневается и распределяет уверенность между альтернативами, а не выдает жесткий ответ "да" или "нет".

13.2 softmax превращает logits в вероятности

Почему вероятность почти никогда не бывает 0 или 1

В реальных данных почти всегда есть шум, неполнота и неизвестные факторы. Поэтому хорошие модели крайне редко выдают вероятность ровно 0 или ровно 1.

Если модель говорит "100% уверенности", это обычно тревожный сигнал:

• переобучение;

• утечка данных;

• слишком агрессивные предположения.

Здоровая модель почти всегда оставляет место сомнению.

13.3 Шкала уверенности от 0 до 1

Вероятность и решения

Не менее важно понимать: вероятность сама по себе ничего не решает. Решения принимает бизнес-логика.

Например:

• письмо – спам с вероятностью 0.6;

• удалять ли его автоматически? зависит от цены ошибки.

Поэтому в прикладных системах вероятность – это вход в принятие решений, а не само решение.

Итог

Вероятность в машинном обучении – это не про монетки и кубики. Это язык, на котором модель говорит о своей уверенности.

Она:

• отражает наше знание, а не объективную истину;

• обновляется при поступлении новых данных;

• почти всегда содержит неопределенность;

• служит основой для принятия решений, но не подменяет их.

Если держать эту интуицию в голове, формулы и алгоритмы начинают выглядеть гораздо более человечными – и гораздо менее мистическими.

Чтобы самостоятельно протестировать этот код, установите примеры из официального репозитория GitHub или воспользуйтесь онлайн-демонстрацией для его запуска.