Кейс 2: Оценка релевантности объекта

Использование скалярного произведения

Скалярное произведение векторов используется в задачах, где важно не расстояние между объектами и не только направление в пространстве признаков, а вклад каждого признака в итоговый результат. Такой подход лежит в основе линейных моделей, скоринга и большинства систем ранжирования.

Постановка задачи

Рассмотрим задачу оценки релевантности объекта. Пусть у нас есть набор объектов (например, пользователей, товаров или документов), и каждый из них описывается числовыми признаками:

• частота использования

• уровень активности

• недавность взаимодействия

Каждый признак вносит разный вклад в итоговую оценку. Это знание мы кодируем в виде вектора весов.

Объект представляется вектором признаков

$$\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$$

А модель — вектором весов

$$\mathbf{w} = (w_1, w_2, \dots, w_n)$$

Почему именно скалярное произведение

Скалярное произведение вычисляет взвешенную сумму признаков:

$$\mathbf{x} \cdot \mathbf{w} = \sum_i x_i w_i$$

В этом кейсе:

• важна сила признаков, а не только их относительные пропорции

• масштаб значений имеет смысл

• вклад каждого признака явно контролируется весами

Поэтому ни евклидово расстояние, ни косинусное сходство здесь не подходят.

Вариант 1. Реализация на чистом PHP

Скалярное произведение

function dotProduct(array $a, array $b): float {
    $n = count($a);

    if ($n !== count($b)) {
        throw new InvalidArgumentException('Vectors must have the same length');
    }

    $sum = 0.0;

    for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
        $sum += $a[$i] * $b[$i];
    }

    return $sum;
}

Пример скоринга объекта

$features = [10, 5, 2];   // активность, сессии, покупки
$weights  = [0.3, 0.5, 1.5];

$score = dotProduct($features, $weights);

echo $score;

// Результат: 8.5
// Объяснение: 10 * 0.3 + 5 * 0.5 + 2 * 1.5 = 8.5

Чем выше значение, тем выше оценка релевантности объекта.

Интерпретация результата

• первый признак вносит вклад 3.0

• второй – 2.5

• третий – 3.0

Результат легко интерпретируется и объясняется, что особенно важно в прикладных задачах.

Вариант 2. Реализация с использованием Rubix ML

В Rubix ML скалярное произведение используется внутри линейных моделей. Рассмотрим пример линейной регрессии без обучения – с заранее заданными весами.

Пример линейного, регрессионного скоринга

use Rubix\ML\Datasets\Labeled;
use Rubix\ML\Datasets\Unlabeled;
use Rubix\ML\Regressors\Ridge;

$samples = [
    [10, 5, 2],   // объект A
    [4, 1, 0],    // объект B
    [20, 8, 5],   // объект C
];

// Фиктивные целевые значения (для примера)
$labels = [8, 2, 15];

$dataset = new Labeled($samples, $labels);

new Ridge(alpha: 1.0);
$model->train($dataset);

// Новый объект
$newSample = [[9, 6, 4]];

$prediction = $model->predict(new Unlabeled($newSample));
print_r($prediction);

// Результат: Array
// (
//     [0] => 8.3
// )

Что происходит внутри

Ridge – это линейная регрессия с L2-регуляризацией (т.е. Ridge = Linear Regression + L2):

$$\hat y = w_1​x_1​+w_2 x_2​+w_3x_3​ + b$$

где веса находятся решением:

$$\mathbf{w} = \left( \mathbf{X}^\top \mathbf{X} + \alpha \mathbf{I} \right)^{-1} \mathbf{X}^\top \mathbf{y}$$

Связь с линейными моделями

Скалярное произведение — это сердце линейных моделей:

• линейная регрессия

• логистическая регрессия

• линейные классификаторы

• нейронные сети (на уровне отдельных нейронов)

Каждый нейрон фактически вычисляет скалярное произведение входов и весов.

Короткий вывод

Скалярное произведение используется в задачах, где важно учитывать вклад каждого признака в результат. Оно позволяет напрямую моделировать влияние признаков и лежит в основе линейных моделей и скоринговых систем.

Эта идея станет ключевой при переходе к обучаемым моделям, где веса вектора ($\mathbf{w}$) подбираются автоматически на данных.