Кейс 2. Медицинский тест: обновление уверенности (Байес)

Цель кейса

Этот кейс демонстрирует фундаментальную идею вероятности как степени уверенности: в байесовском подходе вероятность трактуется как степень уверенности и обновляется при поступлении новой информации.

Мы разберем классический пример с медицинским тестом и увидим, почему высокая точность теста не означает высокой уверенности в диагнозе. Главная цель – научиться мыслить в терминах априорной и апостериорной вероятности.

Сценарий

Предположим, существует редкое заболевание.

Известно следующее:

• Болезнь встречается у 1 человека из 1000.

• Чувствительность теста (вероятность положительного результата при наличии болезни) – 99%.

• Специфичность теста (вероятность отрицательного результата у здорового человека) – 95%.

Пациент сдает тест и получает положительный результат.

Вопрос: какова вероятность того, что он действительно болен?

Интуитивный ответ часто звучит так: "примерно 99%". Но это неверно.

Причина – в редкости события.

Математическая постановка

Обозначим:

• $P(D)$ – вероятность болезни (априорная вероятность);

• $P(T+ \mid D)$ – вероятность положительного теста при болезни (чувствительность);

• $P(T+ \mid \neg D)$ – вероятность положительного теста при отсутствии болезни.

Нас интересует: $P(D \mid T+)$ - то есть вероятность болезни при условии положительного результата теста.

По формуле Байеса:

$$P(D \mid T^+) = \frac{P(T^+ \mid D) \cdot P(D)}{P(T^+)}$$

Где

$$P(T^+) = P(T^+ \mid D) \cdot P(D) + P(T^+ \mid \neg D) \cdot P(\neg D)$$

Реализация на PHP

$prior = 0.001;        // P(болезнь)
$sensitivity = 0.99;   // P(положительный | болезнь)
$specificity = 0.95;   // P(отрицательный | здоров)

$falsePositive = 1 - $specificity;  // P(положительный | здоров)

$posterior = ($sensitivity * $prior) 
          / (($sensitivity * $prior) + ($falsePositive * (1 - $prior)));

echo "Истинно положительные случаи: " . ($sensitivity * $prior) . PHP_EOL;
echo "Ложноположительные результаты: " . ($falsePositive * (1 - $prior)) . PHP_EOL;
echo "Вероятность: " . round($posterior, 4);

Результат будет следующий:

Истинно положительные случаи: 0.00099
Ложноположительные результаты: 0.04995
Вероятность: 0.0194

То есть около 1.94%.

Интерпретация результата

Несмотря на высокую чувствительность теста (99%), итоговая вероятность болезни после положительного результата составляет менее 2%.

Почему?

Потому что болезнь крайне редкая. Ложноположительные результаты, возникающие у большого числа здоровых людей, статистически "перекрывают" истинно положительные случаи.

Другими словами:

• априорная вероятность была очень низкой

• один тест с данной специфичностью не смог радикально изменить уровень уверенности

Это и есть обновление уверенности – переход от $P(D)$ к $P(D \mid T+)$.

Инженерный смысл

Этот пример важен не только для медицины. Он напрямую переносится на задачи машинного обучения:

• редкий фрод (fraud – мошенничество) в платежах

• редкие инциденты безопасности

• редкие события в логах

• поиск аномалий

Даже очень "точная" модель может давать много ложных срабатываний, если событие само по себе встречается редко.

Поэтому при оценке моделей важно учитывать:

• базовую распространенность события

• баланс классов

• реальные последствия ложных срабатываний.

Типичная когнитивная ошибка

Люди склонны игнорировать априорную вероятность и концентрироваться только на точности теста. Это называется игнорированием базовой частоты (base rate neglect).

В ML эта ошибка проявляется так:

• модель с 99% accuracy кажется "отличной"

• но если положительный класс составляет 0.5% выборки, такая точность может быть иллюзией.

Выводы

1. В байесовском подходе вероятность – это обновляемая степень уверенности.

2. Априорная вероятность играет решающую роль при интерпретации результата.

3. Даже очень точный тест не дает высокой уверенности, если событие редкое.

4. Байесовское обновление – это универсальный механизм пересчета уверенности при появлении новых данных.

Этот кейс формирует фундаментальное понимание: модель или тест дают нам новый сигнал, но окончательная уверенность всегда зависит от контекста, в котором этот сигнал получен.

Чтобы самостоятельно протестировать этот код, установите примеры из официального репозитория GitHub или воспользуйтесь онлайн-демонстрацией для его запуска.