Алгоритм k-ближайших соседей и локальные решения

Геометрическая интуиция, метрики расстояний.

Алгоритм k-ближайших соседей (k-Nearest Neighbors, k-NN) – один из самых интуитивных и при этом фундаментальных алгоритмов машинного обучения. Он почти не делает предположений о данных, не обучает параметрическую модель, а хранит обучающие данные и опирается на простую, почти геометрическую идею: похожие объекты должны иметь похожие ответы.

Именно поэтому k-NN особенно хорошо подходит для объяснения того, что такое локальные решения, почему геометрия данных важна и как выбор метрики расстояния напрямую влияет на результат.

Локальные решения вместо глобальной модели

В отличие от линейной или логистической регрессии, k-NN не пытается найти одну общую формулу для всех данных. У него нет коэффициентов, весов или оптимизируемой функции потерь в явном параметрическом виде.

Алгоритм работает иначе:

1. Мы сохраняем все обучающие данные.

2. Для нового объекта ищем k ближайших к нему примеров.

3. Принимаем решение, глядя только на этих соседей.

Это и есть локальное решение. Для каждой новой точки решение строится заново, исходя из её ближайшего окружения.

Можно сказать, что k-NN каждый раз отвечает на вопрос:

Что обычно происходит с объектами, похожими именно на этот?

16.1 Локальные решения c k-NN

Геометрическая интуиция k-NN

Рассмотрим самый простой случай – пространство из двух признаков. Каждый объект – это точка на плоскости. Тогда работа алгоритма выглядит буквально геометрически:

• есть точка запроса

• мы измеряем расстояния до всех остальных точек

• выбираем $k$ точек с минимальным расстоянием

Для классификации чаще всего используется голосование:

$$\hat{y} = \operatorname{mode}(y_1, y_2, \dots, y_k)$$

Для регрессии – усреднение:

$$\hat{y} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} y_i$$

Таким образом, решение определяется формой локального "облака" точек вокруг запроса.

Метрики расстояния: как мы определяем "близость"

Ключевой вопрос k-NN – что значит "ближайший"? Ответ задаётся метрикой расстояния.

Евклидово расстояние

Евклидово расстояние - самая распространённая метрика:

$$d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}$$

Она хорошо работает, когда:

• признаки имеют одинаковый масштаб

• пространство относительно низкой размерности (см. проклятие размерности ниже)

• важна геометрическая форма облаков

16.2 Евклидово расстояние

Манхэттенское расстояние

Манхэттенское расстояние - это когда важнее не прямая линия, а сумма перемещений по осям:

$$d(x, y) = \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|$$

Эта метрика часто используется, когда вклад каждого признака в расстояние аддитивен и имеет интерпретацию "стоимости шага".

16.3 Манхэттенское расстояние

Расстояние Минковского

Обобщающая форма для расстояния Минковского:

$$d(x, y) = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p \right)^{1/p}$$

• при $p = 2$ получаем евклидово расстояние

• при $p = 1$ – манхэттенское

Выбор p позволяет плавно менять форму "окрестности" точки.

16.4 Расстояние Минковского

Косинусное расстояние

Когда важна не длина вектора, а направление. Формально это косинусное сходство, а не расстояние.

$$\cos(\theta) = \frac{x \cdot y}{||x|| \cdot ||y||}$$

На практике в k-NN обычно используют косинусное расстояние:

$$d(x, y) = 1 - \cos(\theta)$$

Строго говоря, эта функция не является метрикой в математическом смысле, но широко используется на практике. Например: используется в задачах с текстами, эмбеддингами, рекомендациями, где абсолютные значения менее важны, чем относительные пропорции.

16.5 Косинусное расстояние

Выбор k, компромисс смещения и дисперсии

Параметр $k$ определяет, насколько локальным будет решение.

Малое k (например, $k = 1$):

• очень чувствителен к шуму

• низкое смещение, высокая дисперсия

Большое k:

• решения более сглаженные

• выше смещение, ниже дисперсия

16.6 Сравнение границ принятия решений k-NN

k-NN – наглядный пример классического компромисса bias–variance.

Размерность и проклятие размерности

С ростом числа признаков возникает проблема, известная как проклятие размерности.

Интуитивно:

• в высоких размерностях все точки становятся "далёкими"

• различия между ближайшим и дальним соседом уменьшаются

• метрики расстояния теряют выразительность

Для многих распределений в высоких размерностях наблюдается эффект, при котором отношение:

$$\frac{d_{\min}}{d_{\max}} \to 1$$

Это делает k-NN менее эффективным без:

• нормализации признаков

• отбора признаков

• снижения размерности (PCA, autoencoders)

Почему k-NN важен концептуально

Несмотря на простоту и вычислительную дороговизну при прямом поиске на больших данных, k-NN остаётся ключевым алгоритмом для понимания машинного обучения:

• он показывает разницу между локальными и глобальными моделями

• делает геометрию данных зримой

• подчёркивает роль метрик и масштабов

• демонстрирует компромисс bias–variance без сложной математики

k-NN – это почти "честный" алгоритм. Он не прячет логику за весами и слоями, а напрямую говорит: посмотри на своих соседей.

Именно поэтому он так хорошо подходит для обучения интуиции, даже если в промышленном коде его используют не так часто.